Giáo trình Hình học Vi phân

Hình học vi phân là một ngành của hình học trong đó các đối tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp của giải tích toán học mà trước hết đó là phép tính vi phân.

Các đối tượng quan trọng nhất của hình học vi phân là các đường, các mặt trong không gian Euclide thông thường và các họ (liên tục) của chúng.

Nếu hình học sơ cấp và hình học giải tích nói riêng, hình học tuyến tính (tổng quát nhiều chiều của hình học sơ cấp) nói chung cũng nghiên cứu các đường, các mặt một cách tách biệt hoặc đôi khi cũng khảo sát một vài họ đặc biệt nào đó của đường và mặt thì bao quát hơn hẳn là hình học vì phản ưu tiên khảo sát tất cả các đường, các mặt bất kì miễn là có thể mô tả chúng bằng các phương trình giải tích. Đặc trưng cơ bản của hình học vi phân là nghiên cứu các tính chất của các đối tượng hình học (các đường, các mặt và các họ của chúng). Các tính chất này được gọi là các tính chất vi phân.

Phần đầu trong hình học vi phân người ta nghiên cứu các tính chất vi phản của các đối tượng hình học mà các tính chất này không thay đổi (bất biến) qua các phép biến hình. Phần này của hình học vi phân gọi là hình học cổ điển.

Các hướng nghiên cứu mới của hình học vi phân bao gồm :

1) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vi phân của các đối tượng hình học trong không gian Euclide bất biến đổi với các phép affine, xạ ảnh hay các biến đổi khác.

2) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vì phán của các đối tượng hình học trong không gian phi Euclide.

Loại bỏ các tính chất riêng biệt của các đối tượng hình học được nghiên cứu trong hình học vi phân, tổng quát hoá các tính chất chung nhất của chúng, người ta đi đến khái niệm đa tạp vi phản chứa các khái niệm về các đường, các mặt, họ các đường, các mặt trong không gian Euclide và

phi Euclide cũng như chính các không gian ấy như là các trường hợp đặc biệt. Như vậy, các đa tạp vi phản chính là các đối tượng tổng quát của hình học vi phân.

Giáo trình này được viết trên cơ sở tóm lược những bài giảng về hình học vi phân mà các tác giả đã giảng trong nhiều năm tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, có cân nhắc đến tính vừa sức đối với các đối tượng mới-các học viên đào tạo từ xa.

Về bố cục và nội dung, giáo trình gồm 3 chương :

Chương 1 : Phép tính vi phân trong Rn.

Chương 2 : Lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian.

Chương 3 : Lí thuyết mặt trong không gian.

Ngoài ra còn có một hệ thống bài tập sau mỗi chương và phần hướng dẫn giải bài tập.

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở, Chương 2 và Chương 3 dành cho việc giới thiệu những nội dung cơ bản nhất của lí thuyết các đường và mặt trong mặt phẳng và không gian.

Do khuôn khổ hạn chế của giáo trình, đồng thời cũng để phù hợp với đối tượng, chúng tôi đã không đưa vào phần nhập môn về lí thuyết các đa tạp vi phản cũng như các kiến thức cơ sở khác có liên quan.

Vì là lần đầu tiên biên soạn cho hệ đào tạo mới nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đồng nghiệp gần xa cũng như của bạn đọc với mục đích chung là góp phần cùng Trung tâm Đào tạo từ xa của Đại học Huế có mộthệ thống giáo trình hoàn thiện hơn.

Các tác giả chân thành cảm ơn PTS. Lê Văn Thuyết đã đọc và cho những góp ý giúp hoàn thiện giáo trình này.

Huế, tháng 12 năm 1997

CÁC TÁC GIẢ