Toán học cao cấp - tập hai - Giải tích

Toán học cao cấp là một môn khoa học cơ bản mà sinh viên các trường kĩ thuật và công nghệ phải học trong hai hay ba học kì đầu, bao gồm những vấn đề cơ bản của Đại số và Giải tích toán học, có vai trò then chốt trong việc rèn tư duy khoa học và cung cấp những công cụ toàn học để sinh viên học các môn học khác, xây dựng tiềm lực khoa học để tiếp tục tự học sau khi tốt nghiệp, góp phần đào tạo những công dân trong tương lai có khả năng vận dụng tư duy khoa học trong mọi tình huống để hoàn thành nhiệm vụ công dân của mình.

Toán học cao cấp là một môn khó, đòi hỏi người học cản hiểu kì lí thuyết để vận dụng được thành thạo các ý tưởng, phương pháp và kết quả cơ bản của lí thuyết trong khi làm bài tập hay giải quyết vấn đề, qua đó hiểu được lí thuyết một cách sâu sắc hơn. Các khái niệm cơ bản của Đại số và Giải tích được trình bày một cách chính xác với nhều vì dụ minh hoạ và ứng dụng. Phần lớn các định li được chứng minh đầy đủ.

Bộ giáo trình Toán học cao cấp biên soạn trước đây đã được chỉnh lí và bổ sung nhiều lần nhằm nâng cao chất lượng trong từng thời kì. Bộ sách xuất bản lần này nhằm nhấn mạnh mối liên hệ giữa các khái niệm toán học với các bài toán đặt ra trong công nghệ và kĩ thuật. Vì vậy phần lí thuyết được giảm chút ít và tăng các ví dụ và ứng dụng trong thực tiền. Chương Phương trình vi phân được bổ sung bởi chương Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng bằng phương pháp biến đổi Laplace, một phương pháp thường được dùng trong các bài toán trong kĩ thuật.

Bộ Giáo trình gồm ba tập: Tập một. Đại số và Hình học giải tích Tập hai: Giải tích Tập ba: Chuỗi và Phương trình vi phân.

Biên soạn bộ sách này, chúng tôi đã tham khảo các tác giả đã tham gia biên soạn bộ giáo trình trong những lần xuất bản trước và tham khảo kinh nghiệm của những đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán học cao cấp của những trường đại học kĩ thuật.

Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả các đồng nghiệp trên cũng như các nhà khoa học đã đọc bản thảo của bộ sách này và cho chúng tôi những ý kiến quý báu.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Công ty Cổ phần Dịch vụ xuất bản Giáo dục Hà Nội về việc xuất bản bộ giáo trình này. Cảm ơn Ban Toán đã đề xuất việc viết lại bộ giáo trình này và cảm ơn biên tập viên Hoàng Việt đã làm việc nghiêm túc và khẩn trương.

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến nhân xét của bạn đọc đối với bộ giáo trình này.

Nội dung của tập hai - Giải tích, được biên soạn thành mười ba chương. Bẩy chương đầu trình bày phép tỉnh giải tích của hàm một biến, các chương còn lại trình bày phép tính giải tích của hàm nhiều biến. Một số khái niệm của các chương 1, 2, 3, 4 đã được giảng dạy ở trường trung học. Trong giáo trình này các khái niệm được nhắc lại, hệ thông hóa và nâng cao.

Chương 1: Trình bày khái niệm ánh xạ, số thực và dãy số thực.

Chương II: Trình bày hàm một biến, hàm hợp, hàm ngược và các hàm sơ cấp.

Chương III: Trình bày giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm và hàm liên tục. Nội dung của chương này là cơ sở để hiểu được các chương sau.

Chương IV: Trình bày các khái niệm cơ bản về đạo hàm và vi phân, đạo hàm của hàm hợp, đạo hàm của hàm ngược, đạo hàm và vi phân cấp cao.

Chương V: Giới thiệu các định lí cơ bản về hàm khả vì và ứng dụng Các định lí đó cho ta thấy dáng điệu của hàm ở lân cận một điểm, cho phép ta khảo sát sự biến thiên của hàm, vẽ đồ thị của nó, vẽ đường cong biểu diễn hàm cho bởi phương trình tham số hay phương trình trong toạ độ cực.

Chương VI: Trình bày hai phương pháp cơ bản để tính tích phân không xác định, cách tính tích phân của các phân thức hữu tỉ và của một số loại hàm mà bằng phép đổi biến có thể đưa về tích phân của các phân thức hữu tỉ.

Chương VII: Giới thiệu mối quan hệ giữa tích phân xác định và tích phân không xác định, các phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định, tích phân sâu rộng và ứng dụng của tích phân xác định.

Chương VIII: Trình bày những vấn đề cơ bản của hàm nhiều biến như giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm của hàm ẩn, đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, công thức Taylor, cực trị và cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến.

Chương IX: Giới thiệu các ứng dụng của phép tính vi phân của hàm nhiều biến trong hình học phẳng và hình học không gian.

Chương X: Trình bày định nghĩa và cách tỉnh tích phân kép trong toạ độ Descartes và công thức đổi biến trong tích phân kép, định nghĩa và cách tỉnh tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes, trong hệ toạ độ trụ và trong hệ toạ độ cấu, các ứng dụng của tích phần kép và tích phân bội ba trong hình học và cơ học.

Chương XI: Giới thiệu tích phân phụ thuộc tham số, tính liên tục, khả vị và khả tích, tích phân suy rộng phụ thuộc tham số và cách tính tích phân Euler.

Chương XII: Trình bày định nghĩa cách tính tích phân đường, công thức Green và hệ quả, định nghĩa và cách tính tích phân mật, các công thức Stokes và Oxtrogradsky Chương XIII: Giới thiệu một số vấn đề về trường vô hưởng và trường vectơ

Các tác giả