Hướng dẫn giải bài tập xác suất và thống kê

Tài liệu này được soạn trên cơ sở các bài tập liên quan tới học phần Xác suất – Thống kê mà tác giả đã có dịp tham gia giảng dạy tại các lớp cử nhân ngành Toán và ngành Quản trị kinh doanh của Trung tâm Đào tạo từ xa (Đại học Huế), trong các năm 1996, 1997, 1998, 1999 và 2000. Một số lớn bài tập trong cuốn sách này cũng được sử dụng trong các tài liệu của tác giả đã được xuất bản trong những năm trước (xem phần Tài liệu tham khảo).

Gần 500 bài tập (có lời giải hoặc chỉ có hướng dẫn và đáp số) trong cuốn sách "Hướng dẫn giải bài tập Xác suất và Thống kê" này liên quan tới hai phần chính của học phần Xác suất – Thống kê là Cơ sở Lí thuyết xác suất (phần 1) và Thống kê toán học (phần 2), bao gồm chín chương được chia thành các đề mục chi tiết. Trong mỗi đề mục thường có ba phần: tóm tắt lí thuyết (phần A), một số bài tập có lời giải hoặc hướng dẫn (phần B) và các bài luyện tập (phần C).

Chương 1 gồm những bài tập đề cập tới các khái niệm cơ bản của Giải tích tổ hợp và Lí thuyết tập hợp, nhằm mục đích bổ sung kiến thức để bạn đọc có thể nhanh chóng tiếp cận các kiến thức của các chương sau. Những bài tập của phần này đặc biệt sẽ hữu ích vì chúng liên quan trực tiếp tới các phép tính xác suất.

Chương 2 gồm những bài tập liên quan tới các khái niệm cơ sở của xác suất như phép thử ngẫu nhiên, biến cố sơ cấp, không gian các biến cố sơ cấp, các phương pháp tính xác suất cùng các tính chất của xác suất.

Trong chương 3 có đưa ra một số bài tập minh họa cho các công thức xác suất cơ bản như công thức cộng, công thức nhân, công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli. Một số không ít bài tập có sử dụng tới khái niệm độc lập của các biển cổ.

Chương 4 gồm các bài tập tương ứng với các khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, dãy phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất cùng các tính chất và ứng dụng của chúng.

Một số lớn bài tập của chương 4 cũng liên quan tới các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kì vọng, phương sai, mômen, median, mode, độ lệch trung bình tuyệt đối,...

Các phân phối xác suất quan trọng nhất cùng các tham số đặc trưng của chúng cũng là đề tài hay cho một số bài tập trong chương này.

Bài tập Chương 5 là một trong số những bài tập khó nhất của giáo trình. Trong chương này, người đọc phải làm quen và sử dụng thành thạo một số kết quả chính (còn được gọi là ba viên ngọc của Lí thuyết xác suất và thống kê toán học) của Lí thuyết các định lí giới hạn như: Luật yếu số lớn, các định lí giới hạn trung tâm và Định lí giới hạn Poisson. Những khái niệm và tính chất của sự hội tụ yếu và sự hội tụ theo xác suất cũng được sử dụng trong chứng minh các bài tập chương này. Đặc biệt, chúng tôi cũng đề cập tới hàm đặc trưng như một công cụ tuyệt vời của giải tích trong nghiên cứu Lí thuyết xác suất. Những bài tập của chương 5 mang tính chất lí thuyết, giúp cho bạn đọc có những ý tưởng phát triển các kết quả cổ điển đã được trình bày trong chương này.

Các bài tập của Chương 6 liên quan tới phần mở đầu của Thống kê toán học, nói về các khái niệm cơ bản của lí thuyết chọn mẫu cùng một số đặc trưng của mẫu như hàm phân phổi thực nghiệm, trung bình mẫu, phương sai mẫu và các đặc trưng khác của mẫu.

Phần lớn bài tập của Chương 7 bàn về lí thuyết ước lượng tham số với sự phân loại các ước lượng điểm và các phương pháp ước lượng điểm cơ bản nhất như phương pháp ước lượng hợp lí cực đại, phương pháp mômen... Một số lớn bài tập liên quan tới việc xây dựng các khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) cũng được đưa vào chương này.

Chương 8 bao gồm các bài tập về các quy tắc cơ bản của lí thuyết kiểm định các giả thiết thống kê. Các bài tập của chương này mang tính chất toán học thực hành nhiều hơn là phát triển lí thuyết.

Chương 9 gồm các bài tập về lí thuyết phân tích tương quan và hồi quy, trong đó chủ yếu yêu cầu xác định được hệ số tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên và xây dựng phương trình hồi quy tuyến tính giữa chúng.

Phần phụ lục gồm một số kết quả, công thức của toán cao cấp (phần A) thường được sử dụng trong môn học Xác suất - Thống kê và một số đề thi kiểm tra chất lượng (phần B) nhằm giúp học viên có thể tự kiểm tra kết quả học tập. Phần C là một số hướng dẫn ngắn gọn giúp học viên có thêm kĩ năng sử dụng một số bảng thống kê thường gặp.

Nhân dịp này tác giả chân thành cám ơn Giáo sư Tiến sĩ Võ Duy Dần, Giám đốc Trung tâm Đào tạo từ xa (Đại học Huế), cùng các cán bộ của Trung tâm đã tạo điều kiện và động viên tác giả sớm hoàn thành tài liệu này.

Tác giả cũng cám ơn các đồng nghiệp tại Khoa toán Trường Đại học Khoa học Huế, đặc biệt là Tiến sĩ Nguyễn Gia Định phụ trách ngành Toán của Trung tâm đã đóng góp những ý kiến quý báu và giúp đỡ phương tiện để tác giả có thể hoàn chỉnh cuốn tài liệu này.

Vì khả năng và thời gian có hạn, cuốn "Hướng dẫn giải bài tập Xác suất và Thống kê" này chắc chắn còn có nhiều hạn chế và thiếu sót. Tác giả thành thật mong nhận được sự góp ý và lượng thứ của các đồng nghiệp. Chân thành cám ơn.