Thống kê học có nhiều quy luật và hằng số chẳng những rất thú vị mà còn gây ngạc nhiên. Chúng ta đã biết những trị số 0.05 để tuyên bố một khám phá, hay hằng số 1.96 của phân bố chuẩn có ảnh hưởng đến cuộc sống như thế nào. Nhưng có lẽ ít ai biết được quy luật 37%. Đây là một quy luật mới được tái khám phá, nhưng có nhiều ứng dụng trong y khoa, khoa học, tìm nhân viên, thậm chí... tình yêu.

Quy luật 37% bắt đầu từ một vấn đề hết sức nan giải, có tên là Vấn đề tìm người thư ký (thuật ngữ tiếng Anh là “The Secretary Problem”). Vấn đề này được phát biểu như sau:

- Có một vị trí thư ký trống

- Công ty nhận được đơn của n ứng viên xin vào vị trí đó

- Các ứng viên được phỏng vấn tuần tự, nhưng thứ tự hoàn toàn ngẫu nhiên, và do đó, xác suất người thích hợp nhất là 1/n

- Một khi ứng viên được phỏng vấn và bị từ chối, thì ứng viên đó sẽ không được quay lại tham gia vào quy trình tìm

- Tương tự, khi một ứng viên được chấp nhận, thì quy trình tìm người thư ký sẽ chấm dứt.

Nếu chỉ có n = 1 ứng viên, thì vấn đề đơn giản nhiều: chọn ứng viên đó. Với 2 ứng viên thì xác suất thành công là 50%, tức là ứng viên đầu có có xác suất 50% là ứng viên tốt nhất. Nhưng khi có 3 ứng viên thì vấn đề trở nên thú vị hơn. Khi ứng viên đầu tiên xuất hiện, chúng ta không có thông tin gì và do đó ứng viên là người tốt nhứt. Khi ứng viên thứ 2 xuất hiện, chúng ta biết ai hơn ai (so với ứng viên 1). Hoá ra, theo quy luật 37% thì nếu chọn ứng viên thứ 2 tốt hơn ứng viên 1 thì chúng ta nên chọn người này (không cần phỏng vấn ứng viên thứ 3), và đây là “chiến lược” tốt nhất (xem bảng dưới đây).

Bảng 1: “Chiến lược” tuyển chọn thư ký

Số ứng viên	Chọn ứng viên tốt nhất sau ứng viên	Xác suất chọn ứng viên tốt nhất
3	1 (33.3%)	50.0%
4	1 (25.0%)	45.8%
5	2 (40.0%)	43.3%
6	2 (33.3%)	42.8%
7	2 (28.6%)	41.4%
8	3 (37.5%)	41.0%
9	3 (33.3%)	46.6%
10	3 (30.0%)	39.9%
50	18 (36.0%)	37.4%
100	37 (37.0%)	37.1%

Vấn đề là n có thể lớn (chẳng hạn như n = 100), và công ty không có đủ thì giờ cũng như tài nguyên để phỏng vấn tất cả. Do đó, câu hỏi đặt ra là công ty cần phải phỏng vấn bao nhiêu người (k) để có xác suất chọn đúng người cao nhất.

Lời đáp cho câu hỏi này hoá ra hết sức đơn giản: 36.79%, hay làm chẵn là 37%. Nói cụ thể hơn, công ty nên phỏng vấn 37% số ứng viên đầu tiên, bỏ qua tất cả số ứng viên đó, và chọn ứng viên đầu tiên sau 37% có kinh nghiệm tốt hơn những ứng viên trước. Đáp số này còn cho phép công ty kết luận rằng xác suất mà công ty chọn được ứng viên tốt nhất là 37%. Con số 37% thật ra là hằng số 1/e (e ở đây là hằng số Euler, tức là e = 2.718...).

Tuổi lý tưởng để thành hôn?

Nhiều bạn trẻ thỉnh thoảng hỏi độ tuổi lý tưởng để thành hôn là bao nhiêu? Quy luật 37% cũng có thể ứng dụng để trả lời câu hỏi đó. Nếu giả định rằng tuổi thành hôn dao động từ 18 đến 40 (22 năm), thì Quy luật 37% cho biết tuổi thành hôn lý tưởng là 18 + 22*0.37 = 26.

Nói cách khác, tuổi 26 là tuổi lý tưởng để thành hôn. Trong thực tế, có nhiều nghiên cứu cho thấy quả thật những cặp vợ chồng thành hôn ở tuổi này thường cuộc sống hôn nhân lâu dài và hạnh phúc.

Toán học tình yêu

Lịch sử cận đại của Vấn đề Thư ký có lẽ bắt đầu từ thập niên 1950, nhưng người đầu tiên giải vấn đề này thì chưa rõ. Trên tập san khoa học, người đầu tiên chứng minh Quy luật 37% là nhà thống kê học lừng danh Dennis Lindley vào năm 1961. Mới đây, Quy luật 37% được tái khám phá qua cuốn sách rất thú vị có nhan đề là The Mathematics of Love (Toán học của tình yêu) của tác giả Hannah Fry (University College of London), và cuốn Risk Savvy của giáo sư tâm lí học Gerd Gigerenzer. Đây là hai cuốn sách được viết cho đại chúng, rất dễ hiểu, rất giải trí cho những dịp nghỉ hè. Nhưng tác giả cũng tự chứng tỏ là những người rất am hiểu về xác suất trong cuộc sống, đặc biệt là áp dụng lí thuyết xác suất trong... tình yêu.

Thật vậy, Quy luật 37% cũng có thể ứng dụng trong việc tìm người bạn đời. Như bạn đọc có thể đoán được, theo Quy luật này, bạn không nên kết hôn với người mình mới quen lần đầu, mà phải cố gắng làm quen và “đánh giá” một số n người. Sau đó, bạn làm quen và “tìm hiểu” n/e người, và chọn sau n/e có phẩm hạnh tốt nhất so với n/2 người kia.

Giả sử như bạn có "cỡ mẫu" là 50 người bạn tình (hơi nhiều!), theo Quy luật 37% thì bạn nên làm quen với 18 người trước để thu thập thông tin, sau đó bạn chọn người 19 trở đi có phẩm hạnh tốt hơn 18 người kia. Do đó, "người tình trăm năm" của bạn có thể là người 19, hay 20, hay thậm 25.

Một khó khăn là xác định bạn cần bao nhiêu n ứng viên. Chúng ta có thể áp dụng công thức ước tính cỡ mẫu để xác định n với một sai số mẫu e%. Tuy nhiên, việc chọn bạn tình là chuyện rất nghiêm trọng, nên có thể sai số mẫu phải hạ thấp xuống cỡ e = 1% hay 2%.

Dĩ nhiên, trong giới nghiên cứu y khoa chuyên nghiệp, thì đa số đều biết đến Quy luật 37%, vì nó đã từng được lí giải và ứng dụng trong thực tế nghiên cứu lâm sàng. Trong y khoa học, quy luật này có tên là “Stopping Rule” và được ứng dụng trong các nghiên cứu lâm sàng giai đoạn I và II, nhưng cơ chế vận hành thì hơi phức tạp hơn một chút.

Chẳng hạn như công trình nghiên cứu thử nghiệm vaccine mRNA phòng chống COVID-19 của công ty Pfizer2 được thiết kế theo mô hình Stopping Rule. Quy định của Cục Quản lí dược phẩm và thực phẩm Hoa Kì (FDA) là hiệu quả của vaccine phải cao hơn 50% (tức nguy cơ nhiễm COVID-19 của nhóm vaccine phải thấp hơn nguy cơ nhóm không tiêm vaccine ít nhứt là 50%). Để đảm bảo thử nghiệm đạt tiêu chuẩn y đức, nhóm nghiên cứu xác định rằng họ sẽ xem xét dữ liệu 5 lần trong quá trình thử nghiệm. Mỗi lần xem xét dữ liệu, nếu hiệu quả vượt qua ngưỡng P thì nghiên cứu sẽ tiếp tục; nếu hiệu quả thấp hơn p thì sẽ ngưng thử nghiệm. Ngưỡng p thay đổi theo số ca nhiễm. Nhóm nghiên cứu tính toán rằng khi có 32 ca nhiễm đầu tiên thì p = 76.9%, khi nghiên cứu có 62 ca nhiễm thì p = 68.1%, v.v. Tuy nhiên, trong lần đánh giá đầu tiên, = nhóm nghiên cứu quan sát được 94 ca nhiễm, và hiệu quả vaccine đạt 90%, do đó nghiên cứu tiếp tục vào giai đoạn kế tiếp. Câu chuyện cho thấy việc ứng dụng Quy luật Stopping Rule không phải là một trò chơi thông thường mà đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu y khoa.

Dĩ nhiên, Quy luật 37% không chỉ ứng dụng trong y khoa, tìm người bạn tình tối ưu, hay tìm nhân viên, mà còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực và tình huống khác, tuỳ vào sự sáng tạo của người ứng dụng. Nên nhớ rằng Quy luật 37% cho chúng ta kết quả với xác suất tối ưu chỉ 37%. Do đó, cần phải xem xét các khía cạnh dương tính giả (tức chọn sai người) và âm tính giả (tức bỏ sót người tốt), nhưng đây là chủ đề khác. Hi vọng rằng qua Quy luật 37% các bạn đã tiết kiệm thì giờ để tìm nhân viên hay tìm người tình trăm năm!