Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn hợp của vật lý toán. Nhiều bài toán tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi, các bài toán về vết nứt, về dị tật trong môi trường,... có thể đưa đến việc giải các phương trình cặp khác nhau.

Trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp được cho như sau: Trên cạnh y = 0 điều kiện biên Dirichlet được cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện Neumann. Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann được cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện biên Dirichlet. Bài toán được giải bằng cách đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà các phần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu trưng cấp hai, một tăng-một giảm cấp một.

Với mong muốn được tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa trên miền hình dải, tôi chọn đề tài “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung.

Chương 1 trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ.

Chương 2 trình bày về tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình 1điều hòa. Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier trong các không gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa các hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp các hệ phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Đánh giá được các hệ số của các hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó và chứng minh các hệ phương trình đó có duy nhất nghiệm thuộc không gian, các hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó là hệ tựa hoàn toàn chính quy.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành được khóa học của mình.