Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bất đẳng thức cổ điển

Bất đẳng thức được hình thành rất sớm, ngay từ những buổi sơ khai của toán học. Thật vậy, ở thời kỳ trước công nguyên con người đã phát hiện ra rằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn độ dài mỗi cạnh góc vuông, hay trong tam giác bất kỳ thì tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại. Nói tổng quan, lịch sử phát triển của bất đẳng thức gắn liền với lịch sử hình thành và phát triển của toán học. Có lẽ đó là lý do chủ yếu mà bất đẳng thức gắn liền với danh tiếng của các nhà toán học lớn như Bernoulli, Cauchy, Newton, Bunyakovsky, Schwarz, Maclaurin,...

Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học. Thống kê cho thấy, tần số xuất hiện từ bất đẳng thức (inequal- ity) là hơn năm chục trong danh mục phân loại các lĩnh vực toán học 2010 (2010 Mathematical Subjects Classification) (xem [14]). Nói rộng hơn, bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng không chỉ trong hầu hết các lý thuyết toán học mà còn xuất hiện nhiều trong các lý thuyết ứng dụng toán học: lĩnh vực khoa học tự nhiên như vật lý, cơ học, quang học, hóa học, sinh học, và trong các ngành khoa học xã hội như kinh tế, luật, chính trị, tâm lý, giáo dục,... (xem [9, 22, 38] và các tài liệu tham khảo ở đó).

Cuốn sách này trình bày những bất đẳng thức cổ điển, mỗi cái trong số chúng được gắn liền với tên của các nhà toán học lừng danh như: Cauchy, Schwarz, Bunyakovsky, Jensen, Newton, Maclaurin, Bernoulli,

Cuốn sách có ba nội dung chủ yếu sau:

• Cơ sở lý thuyết của những bất đẳng thức cổ điển.

• Phép chứng minh những bất đẳng thức đó.

• Bất đẳng thức mở rộng, các bài toán liên quan, các bất đẳng thức có trong ứng dụng, và sử dụng những bất đẳng thức trên để chứng minh một số bất đẳng thức khác.