Phương trình toán lý là môn học nhằm mục đích cung cấp cho sinh viên các công cụ toán học gia các phương trình được xây dựng từ các hiện trong vật lý trong thế giới xung quanh nhu truyền sông (sóng nước, sông xin thanh, sóng điện tử, sông hấp dẫn, truyền nhiệt huy khuếch tân vật chất trong các môi trường hữu hạn và vô hạn. Để giải phương trình có nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp tách biển Fourier, phương pháp đặc trưng, phương pháp him Green, phương pháp biểu diễn tích phân, phương pháp sai phân hữu hạn....
Các đại lượng vật lý phụ thuộc vào nhiều biển. Trong toán học, dễ tìm nghiệm là hàm nhiều biển của phương trình vi phân có một ngành học là phương trình đạo hàm riêng. Trong giáo trình này chúng tôi cũng phân loại các dụng phương trình được xây dựng từ các hiện tượng vật lý theo món học phương trình đạo hàm riêng phù hợp với cách và phương pháp giải. Cụ thẻ là có ba loại phương trình đạo hàm riêng cơ ban phương trình hyperbolic đặc trưng cho quá trình truyền sóng, phương trình parabolic đặc trưng cho quá trình truyền nhiệt hay khuếch tán và phương trình elliptic đặc trưng cho việc nghiên cứu các quá trình truyền nhiệt hay truyền sống trong trạng thái dùng.
Trong chương 1. chúng tôi trình bày việc phân loại các phương trình đau hàm riêng cấp hai, nhắc lại việc giải phương trình vi phân cấp hai và khái niệm chuỗi Fourier, các hệ tọa độ cong trực giao hiểu thị dạng các luận từ vi phân grad, div, rot, toàn từ Laplace trong các hệ tọa độ cực, trụ, cầu.
Phương trình hyperbolic còn được gọi là phương trình sông được đề cập đến trong chương II đóng một vai trò quan trọng trong vật lý toàn Loại phương trình này được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu dao động của dậy, màng mỏng, sóng âm, sông tạo ra do thuỷ triều, sóng đàn hồi, sóng điện tử ... Chúng tôi đã xây dựng cách giải phương trình sông bằng phương pháp tách biến Fourier cho các trường hợp 1, 2 và 3 chiều trong hệ tọa độ Cartesian và các hệ tọa độ cong trực giao, đưa ra ý nghĩa vật lý của quả trình dao động.
Chương III để cập đến phương trinh parabolic còn được gọi là phương trình truyền nhiệt. Phương trinh parabolic đặc trưng cho quá trình truyền nhiệt và các hiện tượng khuếch tán. Chúng tôi cũng xây dựng cách giải phương trinh truyền nhiệt bằng phương pháp tách biến Fourier cho các trường hợp 1, 2 và 3 chiều, trong đó trình bày đối với miền vô hạn và bản
vô hạn. Chương IV là phương trình elliptic mô tà trạng thái dừng của các hiện tượng truyền sóng và truyền nhiệt.
Chương V trình bày các phép biến đổi tích phân: Phép biển đi Laplace, phép biến đổi Fourier. Các phép biến đổi tích phân là công cụ quan trọng để giải các phương trình đạo hàm riêng.
Chương VI dành cho trình bày phương pháp hàm Green
Chương VII trình bày khái niệm các hàm trực giao; đa thức Legendre, hàm Besell, hãm cầu, đa thức Hermite, đa thức Laguerre ... và tính trực giác của chúng - một công cụ quan trọng để giải các phương trình đạo hàm riêng toán -lý.
Trong mỗi chương đều có các bài giải mẫu và các bài tập. Phần hướng dẫn và đáp số được tác giả trình bày cách giải bài tập khá chi tiết.
Giáo trình này tác giả đã tích lũy nhiều năm khi soạn và giang các bài giảng Phương trình toán lý cho sinh viên khoa vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Giáo trình này được trinh hủy với phương châm từ cụ thể đến khái quát, giúp cho sinh viên và người đọc có khả năng độc lập tinh toàn và tổng hợp hệ thống các kiến thức cơ bản. Tác giả đã đưa đến người đọc các bài tập và bài giải rất cụ thể. Giáo trình này cũng phù hợp với chương trình đào tạo của các Trường Đại học Sư phạm, Đại học Kỹ thuật trong cả nước về toán và vật lý.
Tác giả chân thành cảm ơn GS. TSKH Trần Hữu Phái, GS. TSKH Nguyễn Xuân Hãn với sự giúp đỡ, động viên và các ý kiến đóng góp sâu sắc, GSTS Nguyễn Quang Bảu với lời góp ý giúp hoàn thiện ban thao. Tác giả cũng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thế Bình, PGS.TS Phùng Quốc Bao đã động viên và góp ý để giáo trình sớm hoàn thiện. Tác giả mong muốn trình bày thật rõ ràng, sáng sủa, dễ hiểu cho người đọc những vấn đề hiện đại của vật lý toán song chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc!
Tác giả
Phan Huy Thiện
