Phương trình hàm cơ bản với đối số biến đổi

Cuốn sách giáo trình về chuyên đề phương trình hảm đầu tiên xuất bản ở Việt Nam đến nay đã gần 20 năm. Nhiều dạng toán về phương trình hàm qua các kỳ Olympic Toán quốc tế, khu vực và trong nước ngày càng mới lạ, cần đến nhiều kiến thức chuyên môn của Giải tích, Đại số và cả Toán học rời rạc nữa... Những ứng dụng của phương trình hàm ngày càng tìm thấy nhiều hơn trong các hoạt động thực tiễn, trong lý thuyết xác suất, lý thuyết thông tin, khoa học môi trường và khoa học sự sống...

Phương trình hàm là một trong những chủ đề lâu đời nhất của Toán Giải tích. Lý thuyết về phương trình hàm ra đời từ rất sớm, có mặt ở hầu hết các lĩnh vực và có nhiều ứng dụng trong đời sống và kĩ thuật. Sự phát triển của nó không chỉ góp phần quan trọng vào sự phát triển của Toán học mà còn ảnh hưởng tới nhiều lĩnh vực khác như khoa học phân tích, khoa học hành vi, khoa học xã hội, sinh thái học, kinh tế học, lý thuyết thông tin, thống kẽ...

Các nhà toán học lớn như Cauchy (1821), D'Alerabert (1769), Euler (1768), Abel (1823), Banach (1920), Darboux (1895), Ostrowski (1929), Pexider (1903) và Poisson (1804),... đã quan tâm nghiên cứu và có nhiều đóng góp vào lĩnh vực này. Tuy nhiên, các nhà toán học trên vẫn chưa đưa ra cách trình bày một cách có hệ thống về các vấn đề liên quan đến phương trình hàm như là một lĩnh vực nghiên cứu độc lập. Trong nữa thế kỷ qua, xuất hiện những tài liệu nghiên cứu sâu về phương trình hàm ra đời:

J.Acz'el, Lectures on Functional Equations and Their Applications (năm 1966).

J.Acz'el and J.Dhombres, Functional Equations in Several Variables (năm 1989).

E.Castillo and M.R.Ruiz-Cobo, Functional Equations and Modelling in Science and Engineering (năm 1992).

M.Kuczma, An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy's Equation and Jensen's Inequality (năm 1985). Những tài liệu này đánh dấu bước phát triển mạnh mẽ của phương trình hàm nói riêng và của khoa học toán học nói chung.

Phương trình hàm có nhiều nguồn xuất xử, nó thường gắn với các mục tiêu ứng dụng cụ thể trong đời sống hoạt động thực tiễn.

Trong hơn nửa thế kỷ qua, ta thấy xuất hiện thêm khá nhiều cuốn chuyên đề về phương trình hàm và các ứng dụng của chúng (xem (2) - (26) và các trích dẫn trong đó). Các dạng phương trình hàm được phân chia theo các nhóm chuyên đề và phân loại theo các tính chất liên quan đến Giải tích (như các đại lượng trung bình, xấp xỉ, độ đo, tính lỗi, lôm,... của hàm số), Đại số (như lý thuyết nhóm, toán tử đại số, biểu diễn đa thức,...), Lý thuyết thông tin (độ đo, entropy, hàm thông tin ,...) và Hình học (các phép biến hình, metric, véctơ,...),...

Cuốn sách chuyên đề này là giáo trình sau đại học dùng cho các chuyên ngành Toán học và ứng dụng toán học mà tác giả đã dạy cho các học viên cao học chuyên ngành Giải tích, Phương pháp toán sơ cấp T Toán học tính toán của ĐHQGHN, Đại học Đà Nẵng, Đại học Quy Nhơn, Đại học Thái Nguyên,

Các chuyên để được trình bày một cách hệ thống dưới dạng đơn giản, chủ yếu dựa vào các phương pháp đại số để tiếp cận các dạng toán mới bằng biến đổi đưa về các lớp phương trình hàm cơ bản quen biết dạng Cauchy, D'Alembert, Abel, ... Học viên cao học và sinh viên dễ dàng đọc và hiểu nội dung của lý thuyết và lời giải các bài toán tương ứng.

Nội dung cuốn sách được chia thành 12 chương và 1 phụ lục.

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ tối thiểu liên quan đến tập hợp, khái niệm về phương trình hàm, hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tỉnh và nhân tính.

Chương 2 khảo sát lớp các phương trình dạng Cauchy dạng tổng quât và dạng tuyến tính được. Trình bày các kiến thức về lớp hàm song cộng tính, phép đối hợp....

Chương 3 xốt các phương trình dang Cauchy da ấn hàm, thường được gọi là các phương trình hàm Pexider.

Chương 4 khảo sát các phương trình dạng Cauchy trong lớp hàm nhiều biến.

Các chương 5-8 khảo sát lớp các phương trình dạng đặc biệt (lượng giác, Lagrange, Lobachevski, dạng toàn phương).

Các chương 9-12 xét phương trình hâm một biến tự do với đối số biến đổi.

Phần Phụ lục xét tỉnh ấn định các dạng khác nhau của phương trình hàm và khảo sát một số Bất phương trình hàm cơ bản.

Xuất phát từ mong muốn có được cuốn giáo trình về phương trình hàm bậc sau đại học (gồm 3 tập) chính thống về học thuật và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật và kinh tế, tác giả đã dành nhiều thời gian biên soạn cuốn giáo trình này thành tài liệu giáo trình chính thức cho cao học. Nhân dịp này, chân thành cảm ơn PGS.TS Bùi Duy Cam, nguyên Hiệu trưởng trường DHKHTN, ĐHQGHN và PGS.TS Nguyễn Hữu Nhân, Trưởng phòng Đào tạo Sau Đại học, ĐHKHTN da hết sức ủng hộ trong suốt hơn hai năm qua để cuốn giáo trình này được hoàn thành trong năm 2013 này.