Mở đầu về giải thích phức trong không gian Banach

Giáo trình được biên soạn dựa trên một số sách chuyên khảo về Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều, trong đó cuốn "Complex Analysis on Banach spaces" của J.Mujica[5] đóng vai trò cốt lõi.

Giáo trình có 6 chương. Hai chương đầu trình bày các khái niệm cơ bản: đa thức, chuỗi lũy thừa, ánh xạ chỉnh hình và G - chỉnh hình. Chương 3 chủ yếu trình bày về hàm đa điều hòa dưới, một lớp hàm quan trọng luôn gắn liền với hàm chỉnh hình. Một áp dụng của Bổ đề Hartogs về dãy các hàm đa điều hòa dưới cũng được đưa ra. Đó là định lí sâu sắc của Hartogs về tính chỉnh hình của ánh xạ chỉnh hình theo từng biển. Để mở rộng định lí này tới trường hợp Banach, định lí Zorn về tính chỉnh hình của hàm G - chỉnh hình bị chặn địa phương tại ít nhất một điểm cũng được đề cập tới. Chương 5 trình bày 4 loại miền quan trọng của Giải tích phức. Đó là miền tồn tại, miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình và miền giả lồi. Mối liên hệ giữa 4 loại miền này luôn là một trong các vấn đề trung tâm của Giải tích phức. Trường hợp trong C" hay tổng quát hơn trong không gian Banach có cơ sở Schauder, sự tương đương của 3 loại miền đầu tiên được chứng minh dựa trên định lí Cartan - Thullen. Trong khi đó sự tương đương của 3 loại miền đó với miền giả lồi ngay cả trong C" cũng chỉ được giải quyết sau công trình lớn của Hörmander về 7 - phương trình. Đây là một loại phương trình đặc biệt trong Giải tích phức. Việc giải phương trình này trên đa diện đa thức được đưa ra ở chương 4. Một trong các ứng dụng của nó là Định lí Oka - Weil về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi đa thức được trình bày ở cuối chương này. Cuối cùng, chương 6 nói đến giải phương trình ở trong miền giả lồi và vấn đề Levi về sự tương đương của 4 loại miền trên trong lớp không gian Banach có cơ sở Schauder.

Giáo trình được chúng tôi biên soạn sau nhiều năm giảng dạy môn học này cho các học viên Cao học chuyên ngành Toán Giải tích tại khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tuy nhiên trong quá trình biên soạn việc sai sót là không thể tránh khỏi. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý đọc giả.

Các tác giả