Giáo trình tối ưu phi tuyến

Tối ưu hóa (Optimization) là một môn toán học ứng dụng đã và đang được nghiên cứu, giảng dạy và học tập ở nhiều trường đại học, cao đẳng trong nước, từ Bắc tới Nam, cho sinh viên toán học, tin học, kinh tế và kỹ thuật.

Trong lý thuyết tối ưu hóa thì phần quan trọng và được phát triển hoàn thiện nhất là tối ưu tuyến tính, còn gọi là qui hoạch tuyến tính. Phần khó hơn và ít được đề cập đến là tối ưu phi tuyến (không tuyến tính), còn gọi là qui hoạch phi tuyến. Có nhiều sách và giáo trình viết về qui hoạch tuyến tính, song sách về tối ưu phi tuyến còn khá khiêm tốn.

Giáo trình Tối ưu phi tuyến (Nonlinear Optimization) được viết theo đề xuất của Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đây là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt về tối ưu phi tuyến, nhằm góp phần thúc đẩy việc nghiên cứu, giảng dạy và học tập môn tối ưu hóa nói chung ở Khoa và Trường. Sách được viết trên cơ sở chỉnh lý, bổ sung và hoàn thiện các bài giảng về tối ưu do các tác giả đã dùng làm tài liệu giảng dạy trong nhiều năm cho nhiều đối tượng sinh viên và học viên cao học ở một số trường đại học và viện nghiên cứu: Trường Đại học Khoa học, Trường Đại học Sư phạm và Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội, Viện Toán học, v.v ...

Cuốn sách này tập trung trình bày những nội dung cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và các phương pháp thường dùng để giải các bài toán tối ưu phi tuyến có hay không có ràng buộc. Lý thuyết và phương pháp tối ưu tuyến tính đã được viết trong Giáo trình tối ưu tuyển tính do Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội in năm 2004.

Nội dung cuốn sách được chia làm ba phần chính, mỗi phán gồm ba hoặc bốn chương, một số chương có thể đọc độc lập với nhau, tùy theo nhu cầu học tập.

• Phần 1 gồm bốn chương đầu, trình bày lý thuyết chung về các bài toán tối ưu: nội dung và ý nghĩa bài toán, các định lý về sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán, các điều kiện cần và đủ của tôi ưu (điều kiện cấp 0, cấp 1 và cấp 2), các kết quả chính về giải tích lỗi thường dùng trong tối ưu hóa (tập afin, tập lỗi, nón lồi, hàm lỗi và hàm lõm cùng các tính chất cơ bản của chúng). Cuối Phần 1 là lý thuyết đối ngẫu Lagrange.

• Phần 2 gồm ba chương 5, 6 và 7, giới thiệu các phương pháp tìm cực tiểu không ràng buộc của hàm, bao gồm các phương pháp tìm cực tiểu của hàm một biến số (phương pháp lập Newton, Fibonacci, lát cắt vàng, nội suy bậc hai và bậc ba), các phương pháp không dùng đạo hàm tìm cực tiểu của hàm nhiều biến (phương pháp Hooke-Jeeves, phương pháp Nelder-Mead) và các phương pháp gradient đòi hỏi sử dụng các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của hàm (phương pháp gradient, gradient liên hợp, phương pháp Newton, tựa Newton).

• Phần 3 gồm bốn chương 8 - 11, trình bày các phương pháp tìm cực tiểu có ràng buộc của hàm nhiều biến, trong đó có phương pháp hình học, phương pháp nhân tử Lagrange, phương pháp dùng điều kiện KKT, phương pháp tuyến tính hóa hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc, các phương pháp hướng chấp nhận được và các phương pháp phạt điểm trong và điểm ngoài, dùng các hàm chắn và hàm phạt.