Đại số đại cương

Ngày nay, những tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất lượng tử, cũng như một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử... Đại số đại cương từ lâu đã nằm trong chương trình bắt buộc của các khoa Toán trong tất cả các trường Đại học Khoa học và Đại học Sư phạm ở nước ta. Nó cũng nằm trong chương trình tuyển chọn và học tập của các sinh viên cao học và nghiên cứu sinh ngành toán.

Cuốn sách Đại số đại cương này được chúng tôi biên soạn nhằm mục đích vừa là một sách giáo khoa vừa là một sách tham khảo (trong một phạm vi nhất định) cho sinh viên, sinh viên cao học và nghiên cứu sinh ngành toán.

Sách gồm 6 chương chính và một chương chuẩn bị.

Bốn chương I, II, IV và V là nội dung của một giáo trình thông thường về Đại số đại cương cho sinh viên các trường Đại học Khoa học và Đại học Sư phạm. Trong khi đó, các chương I, II, III và VI có thể dùng làm một chuyên đề về Cơ sở lí thuyết nhóm và biểu diễn nhóm. Cũng như vậy, các chương IV, V, III và VI là nội dung của một chuyên đề về Vành và môđun.

Việc chọn hay không chọn một đề tài nào đó để trình bày vào sách là một việc khó. Một mặt, nếu thiên về sự giản lược, cuốn sách cơ thể chỉ còn là một mớ những định nghĩa đơn giản và ít nhiều rời rạc về nhóm, vành, trường, môđun... Kết quả là người đọc sẽ không thu được bao nhiêu những hiểu biết cụ thể và trực giác về đối tượng được nghiên cứu. Mặt khác, để giữ cho cuốn sách có một độ dày vừa phải, chúng tôi buộc phải lược bỏ một số đề tài hấp dẫn, chẳng hạn Lí thuyết mở rộng trường, với thành quả là chứng minh được rằng có những phương trình đa thức một ẩn hệ số thực với bậc ≥ 5 không thể giải được bằng căn thức. Theo chúng tôi, định lí đẹp đề này đặc biệt có ích cho việc truyền bá toán học của các giáo viên trung học nương lại. Để bù đập khiếm khuyết đó, chúng tôi cố gắng trình bày các tiết cuối chương IV sao cho chúng có thể được nổi kết một cách tự nhiên vào lí thuyết mở rộng trường, khi có đủ thời gian. Tương lự, sách không có một chương riêng về đồng điều. Tuy vậy, chúng tôi giới thiệu ở chương V khái niệm dây khớp và tính nữa khớp của các hàm từ Hom và 8. Đó là những chất liệu sẵn sàng để, khi thời gian cho phép, trình bày về Ext và Tor như những hàm tử dẫn xuất của Hom và 8.

Cuốn sách được trình bày theo một ngôn ngữ thấm đượm tinh thần của lí thuyết phạm trù và hàm tử, mặc dù hai khái niệm này không hề được định nghĩa trong sách. Sở đi chúng tôi chủ tâm không trình bày về phạm trù và hàm tử là vì kinh nghiệm cho thấy phần đông sinh viên trước khi nắm được tinh thần của ngôn ngữ này thường bị vẻ hào nhoáng của nó làm cho quên mất nội dung toán học cụ thể.

Các khái niệm nữa nhóm và vị nhóm cũng chỉ được dành cho đôi dòng chú thích ngắn ở trong sách. Điều này phản ánh khẩu vị riêng của chúng tôi trong việc lựa chọn đề tài.

Nếu được phép đưa ra một lời khuyên, chúng tôi đề nghị độc giả hãy gắn liền việc đọc cuốn sách này với việc phân tích càng nhiều càng tốt những ví dụ cụ thể, và làm hầu hết các bài tập cuối mỗi chương. Các bài tập được đánh dấu * là những bài khó; độc giả nên tạm gác chúng qua một bên trong lần đọc đầu tiên.

Cuốn sách được biên soạn trên cơ sở những bài giảng về Đại số đại cương mà tác giả đã trình bày nhiều năm cho sinh viên, sinh viên cạo học và nghiên cứu sinh của trường Đại học Tổng hợp (nay là Đại học Khoa học tự nhiên) Hà Nội, và của một số trường, Đại học Sư phạm.

Tác giả chân thành cảm ơn Giáo sư Đoàn Quỳnh và Tiến sĩ Nguyễn Tự Cường đã đọc kĩ toàn bộ bản thảo, góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tác giả cải tiến cách diễn đạt ở nhiều chỗ trong sách.

Tác giả cảm ơn chị Phương Dung, người biên tập, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho quá trình chuẩn bị xuất bản cuốn sách này.

Tác giả mong nhận được sự chỉ giáo của các đồng nghiệp và độc giả về những thiếu sót khó tránh khỏi của cuốn sách.

Hà Nội, thu 1997