Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu, Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này.
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng.
Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề, tham khảo về đại số, giải tích, số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức. Gần đây, số lượng các sách tham khảo và chuyên đề về bất đẳng thức được rất nhiều tác giả viết và khai thác theo những chủ đề và các quan điểm phân loại khác nhau. Tuy vậy, các tài liệu về bất đẳng thức như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông thì chưa có nhiều, còn chưa thể hiện được đầy đủ hệ thống các ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình.
Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi và nhằm đáp ứng yêu cầu sáng tạo các dạng bài tập mới về chuyên đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị, chúng tôi viết cuốn sách nhỏ này nhằm cung cấp một số cơ sở dữ liệu cơ bản về bất đẳng thức và một số vấn đề đại số liên quan đến bất đẳng thức. Đồng thời, cũng cho phân loại một số dạng toán về bất đẳng thức theo nhận dạng cũng như thuật toán để giải chúng. Đây cũng là bài giảng mà tác giả đã bồi dưỡng cho các giáo viên giảng dạy chuyên toán và cho học sinh, sinh viên các đội tuyển thi Olympic Toán quốc gia, khu vực và quốc tế. Một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic Toán quốc tế. Một số các bài toán minh hoạ khác được trích từ các tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Toán học trong nhà trường, Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa và sách giáo trình cơ bản, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng như một số đề thi Olympic Toán sinh viên trong những năm gần đây (xem [1]-[19]).
Cuốn sách gồm phần mở đầu và 9 chương và phụ lục.
Chương 1. Bất đẳng thức Cauchy
Chương 2. Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
Chương 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và nhân
Chương 4. Hàm lồi, lõm và tựa lồi lõm
Chương 5. Bất đẳng thức Karamata
Chương 6. Sắp thứ tự một số bộ dãy có trọng
Chương 7. Bất đẳng thức hàm
Chương 8. Bất đẳng thức trong dãy vô hạn
Chương 9. Bất đẳng thức tích phân
Phụ lục. Bảng các bất đẳng thức liên quan
Trong tài liệu này, chúng tôi đã sử dụng một số kỹ thuật và bài tập trích từ các báo cáo đăng trong Kỷ yếu Hội nghị khoa học về chuyên đề Bất đẳng thức ([17]-[19]). Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa vào xét một số vấn đề liên quan đến hệ thống ứng dụng như là một cách tiếp cận của phương pháp nhằm giúp các độc giả hiểu sâu sắc hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết bất đẳng thức.
Tuy nhiên, trong tài liệu này không để cập nhiều và sâu đến các bài toán có nội dung liên quan đến kiến thức hiện đại của giải tích cũng như không đề cập đến những bất đẳng thức và các bài toán cực trị trên các tập rời rạc có ràng buộc phức tạp của lý thuyết quy hoạch và tối ưu. Các dạng bất đẳng thức số học và hình học cũng không có mặt trong tài liệu này.
Cuốn sách dành cho học sinh năng khiếu Toán học bậc trung học phổ thông, các sinh viên và học viên cao học, một số đề mục được viết dành riêng cho các thầy giáo và cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. Trong cuốn sách này, có trình bày một số kết qủa mới chưa có trong các sách hiện hành, chủ yếu lấy từ kết quả của các seminar khoa học của Khối Chuyên Toán - Tin, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và một số báo cáo đẳng trong Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn lọc của Hệ THPT Chuyên”, nên đòi hỏi độc giả cũng phải giành khá nhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cận của phương pháp. Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể bỏ qua các đề mục mới để tập trung đọc các phần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phần kiến thức nâng cao. Trong cuốn sách này, tên gọi của các bất đẳng thức cổ điển được viết theo cách gọi truyền thống lấy từ các sách chuyên khảo và chuyên để hiện hành và không phiên âm tên riêng ra tiếng Việt.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Huy Hổ, PGS Nguyễn Thuỷ Thanh và các thành viên Seminar Giải tích - Đại số cũng như seminar Phương pháp Toán Sơ cấp, đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho cuốn sách được hoàn chỉnh. Tác giả sẽ vô cùng biết ơn các bạn đọc có ý kiến đóng góp về nội dung cũng như cách thức trình bày của cuốn sách. Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội.
Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2005
Tác giả
Nguyễn Văn Mậu
