Những mầm mống nảy sinh "Lý thuyết hàm suy rộng", theo J. Lützen:
• Phép tính toán tử của Heaviside (Heaviside's operational calcu- lus, năm 1893).
• Đạo hàm suy rộng và nghiệm suy rộng của phương trình vi phân (xuất hiện trong các công trình của S. L. Sobolev, năm 1936).
• Biến đổi Fourier suy rộng (xuất hiện trong các công trình của S. Bochner, năm 1932 và công trình của T. Carleman, năm 1936).
• Hàm Dirac 8 (xuất hiện trong các công trình của P. Dirac, năm 1930).
• Dòng De Rham (De Rham's currents, năm 1931).
Đến năm 1950, với công trình "Theorie des distributions" L. Schwartz đã đưa ra một cách hệ thống "Lý thuyết hàm suy rộng". Công trình góp một phần vào giải thưởng Fields của L. Schwartz. Tuy nhiên "Lý thuyết hàm suy rộng" cũng phải đối mặt với câu hỏi về ý nghĩa của nó. Chẳng hạn câu nói của M. Riesz (thầy hướng dẫn của L. Hörmander, người đã nhận giải thưởng Fields vì những đóng góp về phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính có sử dụng lý thuyết hàm suy rộng) khi L. Schwartz trình bày "Lý thuyết hàm suy rộng" rằng L. Schwartz nên nghĩ ra cái gì đó có ý nghĩa hơn lý thuyết này. Một trong các lý do M. Riesz đưa ra là các nghiệm cơ bản đều là hàm khả tích Lebesgue địa phương. Tuy nhiên cùng với thời gian "Lý thuyết hàm suy rộng" dần chứng tỏ ý nghĩa của nó, chẳng hạn F. Treves từng nói rằng nhờ có hàm suy rộng việc giải các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng trở nên dễ dàng hơn thể hiện qua Định lý Malgrange- Ehreinpreis (1954-1955), một việc mà M. Riesz cho rằng nó là công việc của thế kỷ XXI. Một điều thú vị, khi đã về hưu L. Hörmander đã chỉ ra một nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng trong không gian 14-chiều là hàm không khả tích địa phương. Trong quá trình phát triển "Lý thuyết hàm suy rộng", không gian Sobolev cũng được hình thành nhằm tìm hiểu độ trơn (regularity) của nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng. Ngày nay, dường như trong bất kỳ công trình nào về phương trình đạo hàm riêng đều có sự xuất hiện không gian Sobolev.
Giáo trình "Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev" được viết nhằm cung cấp kiến thức cơ sở về hàm suy rộng và không gian Sobolev cho sinh viên năm cuối, học viên cao học cũng như nghiên cứu sinh ngành Toán học. Nội dung của giáo trình được chia làm ba chương như sau:
Chương 1 trình bày các khái niệm về cấu trúc tô-pô và cấu trúc tuyến tính của các không gian hàm cơ bản cũng như không gian hàm suy rộng. Cấu trúc tô-pô được trình bày dưới dạng đơn giản: đưa ra khái niệm hội tụ dãy. Cách tiếp cận này tránh được việc phải tìm hiểu không gian véc-tơ tô-pô. Nó giúp sinh viên dễ dàng nhìn thấy được hàm suy rộng. Một số phép toán đơn giản: đạo hàm suy rộng, nguyên hàm suy rộng cũng như việc nghiên cứu tính đầy đủ của các không gian cũng được trình bày.
Chương 2 trình bày phép tích chập và phép biến đổi Fourier.
Việc trình bày phép tích chập một cách tuần tự từ không gian hàm cơ bản lên không gian hàm suy rộng cùng với phép biến đổi Fourier cũng được trình bày tuần tự như vậy tạo thành một mạch logic. Khác với cách trình bày phép tích chập trong một số sách bắt đầu từ tích trực tiếp (tích ten-xơ) rồi dẫn đến tích chập, cách trình bày trong Giáo trình giúp sinh viên tiếp tục nhìn sâu hơn vào cấu trúc của không gian hàm suy rộng. Về phép biến đổi Fourier, các kết quả về tính đẳng cấu và các Định lý Paley- Wiener-Schwartz cũng được trình bày nhằm cung cấp cho sinh viên một vài nét cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi xuất hiện trong rất nhiều chuyên ngành khác nhau trong Toán học, chẳng hạn Lý thuyết Xác suất, Lý thuyết Biểu diễn, Giải tích điều hòa, Phương trình đạo hàm riêng, v.v.
Chương 3 trình bày vài nét khởi đầu về không gian Sobolev với các kết quả về phép nhúng, không gian đối ngẫu và Định lý vết. Cuối chương có trình bày một vài Bất đẳng thức trong không gian Sobolev: bất đẳng thức Poincare, bất đẳng thức Sobolev và bất đẳng thức Hardy. Về không gian Sobolev có lẽ cần cả một giáo trình riêng để viết nên phần trình bày về không gian Sobolev trong Giáo trình này chỉ đưa ra một cách nhìn mà chủ yếu dựa vào phép biến đổi Fourier.
Cuối mỗi chương đều có một phần tóm tắt lý thuyết và các bài tập nhằm củng cố lý thuyết cũng như một số bài mang tính mở rộng sự hiểu biết về môn học ngoài những gì đã trình bày. Một số ví dụ cụ thể cũng được đưa xen kẽ nhằm giúp sinh viên nắm bắt các khái niệm được rõ ràng hơn.
Giáo trình được viết dựa trên các bài giảng của PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn mà tác giả đã được đọc và học. Giáo trình được viết từ năm 2005, khi tác giả bắt đầu dạy cho lớp K47A1T. Sau mỗi năm giảng dạy, được sự giúp đỡ của nhiều lớp sinh viên, tác giả đã chỉnh sửa và bổ sung nhiều. Để có được Giáo trình này tác giả xin được cảm ơn PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin được cảm ơn nhiều lớp sinh viên đã nghe và góp ý cho bài giảng. Tác giả xin được cảm ơn hội đồng biên soạn giáo trình đã cho tôi nhiều góp ý bổ ích, đặc biệt TS. Dư Đức Thắng. Cuối cùng tác giả xin được cảm ơn PGS. TS. Đặng Đình Châu cũng như Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà Nội, đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả hoàn thành Giáo trình này. Tác giả xin được cảm ơn Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, đặc biệt ban biên tập đã giúp tác giả chỉnh sửa nhiều lỗi in ấn và chế bản bìa giáo trình.
