Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định

Cũng như các môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, ki thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Đã có những tài liệu, giáo trình đề cập đến những bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng. Ở đây chúng tôi muốn giới thiệu với bạn đọc một ví dụ về một ứng dụng của phương trình vi phân trong sinh học. Giả sử ta cần nghiên cứu sự phát triển của một quần thế. Gọi x(t) là một độ của quần thể ở thời điểm t, x(t) = dx/dt là tốc độ phát triển của quần thể. Tại mỗi thời điểm t, tốc độ phát triển nói chung tỉ lệ với số lượng của quần thể tức là với mật độ của nó : x = h(t)x (chẳng hạn, số : x = lượng càng nhiều càng làm con). Nhưng tại mỗi thời điểm t một số con vật của quần thể cùng chết đi (do bệnh tật hoặc bị các loài khác ăn thịt). Và số lượng con vật "chết đi này cũng tỉ lệ với mật độ của quần thể. Do đó tốc độ phát triển của quần thể được viết một cách chính xác hơn dưới dạng :

x = x(k(t) - h(t)x) (*)

Đại lượng k(t) - h((t)x) được gọi là tốc độ phát triển riêng của quản thể. Nếu quần thể phát triển chưa đến . mức tới hạn (chẳng hạn môi trường còn cung cấp đầy dù thức ăn cho quần thể) thì tốc độ phát triển riêng k(t) - h(t)x > 0. Nếu quần thể phát triển quá mức tới hạn thì k(t) - h(t)x < 0 (chẳng hạn do môi trường không thể cung cấp đầy đủ thức ăn).

Phương trình (*) là một phương trình vi phân cấp một và thường được gọi là phương trình logistic. Việc nghiên cứu phương trình (*) có một ý nghĩa quan trọng trong sinh thái học.

Thời gian qua ở trong nước ta đã xuất hiện một số giáo trình phương trình vi phân. Nhưng các giáo trình này in đã lâu và có hạn nên hiện nay trên thị trường không còn nữa. Để đáp ứng nhu cầu bạn đọc, nhất là đối với tầng lớp sinh viên, chúng tôi viết giáo trình này nhằm cung cấp tương đối đầy đủ những kiến thức cơ bản của lí thuyết cơ sở phương trình vi phân và đi sâu hơn, những kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân.

Chương I và chương II của phần một chủ yếu trình bày các phương pháp giải phương trình vi phân cấp một cũng như cách tìm nghiệm kì dị và quỹ đạo đảng giác. Chương III giới thiệu một số phương trình vi phân cấp n có thể giải được hoặc hạ thấp cấp được. Chương IV trình bày lí thuyết tổng quát của phương trình tuyến tính cấp n và từ đó suy ra cấu trúc nghiệm tổng quát của lớp phương trình này.

Chương V chỉ ra một số phương trình vi phân tuyến tính cấp n mà đối với chúng, ta có thể xây dựng được nghiệm tổng quát bằng một biểu thức tường minh. Cũng ở chương này một vấn đề nhỏ của lí thuyết định tính phương trình vi phân được đề cập đến. Đó là vấn đề dao động nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai.

Phần đầu của chương VI trình bày phương pháp giải hệ phương trình vi phân và chứng minh định lý tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán Côsi. Nhờ sự liên hệ giữa hệ n phương trình vi phân cấp một với một phương trình vi phân cấp n, từ đây suy ra định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phản cấp n đã phát biểu mà không chứng minh ở chương III. Phần tiếp theo của chương Vì trình bày lí thuyết tổng quát về hệ phương trình vi phân tuyến tính và từ đó suy ra cấu trúc nghiệm của chúng. Cuối cùng, chỉ ra cách xây dựng nghiệm tổng quát dưới biểu thức tường minh của hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàng.

Bắt đầu từ chương I phần hai, chúng tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc một trong những phương hướng cơ bản của lí thuyết định tinh phương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đó là sự ổn định của nghiệm. Căn nói rằng trong khuôn khổ một phần của một cuốn sách chúng tôi không có tham vọng đi sâu và trình bày đầy đủ lí thuyết ổn định mà chủ yếu muốn giới thiệu với bạn đọc những khái niệm cơ bản nhất và một số kết quả kinh điển nhất của lí thuyết này.