Đại số tuyến tính
Đại số tuyến tính là một nhánh quan trọng của toán học, nghiên cứu các cấu trúc tuyến tính như vector, ma trận, không gian vector, và ánh xạ tuyến tính. Đây là nền tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, với ứng dụng sâu rộng trong vật lý, khoa học máy tính, trí tuệ nhân tạo, kinh tế học, và hơn thế nữa.
Đại số tuyến tính tập trung vào cách biểu diễn và thao tác với dữ liệu thông qua các phép toán như cộng, nhân, tìm định thức, và giải các hệ phương trình tuyến tính. Các khái niệm cơ bản, như giá trị riêng và vector riêng, không gian vector con, cùng với các phương pháp phân tích ma trận, giúp mô hình hóa và giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tế.
Sự đơn giản nhưng mạnh mẽ của đại số tuyến tính không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của toán học mà còn cung cấp công cụ thiết yếu để xử lý dữ liệu lớn, mô phỏng hệ thống phức tạp, và giải quyết bài toán tối ưu hóa. Nó thực sự là một ngôn ngữ toán học không thể thiếu trong thế giới hiện đại.
Mục lục
Đại số tuyến tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, chuyên nghiên cứu về các đối tượng tuyến tính như vector, ma trận, và hệ phương trình tuyến tính. Các phép toán cơ bản trên ma trận và vector như cộng, nhân, và biến đổi tuyến tính là những công cụ cốt lõi được sử dụng để phân tích và giải quyết các bài toán khoa học và kỹ thuật.
Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm các phần tử (số hoặc ký hiệu) được sắp xếp theo hàng và cột
Định thức là một số vô hướng được gán cho một ma trận vuông A, ký hiệu là det(A) hoặc |A|, thể hiện nhiều tính chất quan trọng của ma trận.
Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng ma trận hoặc phương trình. Chúng xuất hiện nhiều trong các ứng dụng khoa học và kỹ thuật.
Vector là một đối tượng toán học được biểu diễn bằng một mảng số có hướng trong không gian
- Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
- Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
- Tính chất của ánh xạ tuyến tính
- Định nghĩa giá trị riêng và vector riêng
- Phương trình đặc trưng
- Ứng dụng của giá trị riêng và vector riêng
- Định lý Cayley-Hamilton
- Định lý Rank-Nullity
- Định lý Gram-Schmidt
- Ma trận trực giao
- Ma trận đơn vị
- Ma trận Hermitian
- Phân tích Cholesky
- Phân tích giá trị kỳ dị (SVD)
- Phân tích ma trận LU
- Phân tích ma trận QR
- Số học máy tính trong đại số tuyến tính
- Sai số số học và tính ổn định
- Khoa học máy tính
- Machine Learning và Trí tuệ nhân tạo
- Đồ họa máy tính
- Mạng lưới và tối ưu hóa
- Hồi quy tuyến tính, logistic đều sử dụng đại số tuyến tính.
- Gradient Descent yêu cầu tính toán gradient, sử dụng ma trận Jacobian hoặc Hessian.